حاسبة حجم العينة
عند مستوى ثقة 95% وانحراف معياري 15 وهامش خطأ ±5 تحتاج إلى n = 35. ولتقدير نسبة بهامش ±5% تحتاج إلى n = 385، أو 278 من مجتمع حجمه 1000.
طريقة الاستخدام
- اختر «المتوسط» إذا كنت تقيس رقمًا مثل الوزن أو الوقت، أو «النسبة» إذا كنت تعدّ حصة مثل إجابات نعم/لا.
- اختر مستوى الثقة، ثم أدخل الانحراف المعياري (للمتوسط) أو النسبة المتوقعة (50% إن لم تعرفها) وهامش الخطأ المقبول.
- أدخل حجم المجتمع إذا كان صغيرًا ومعروفًا. وللحساب العكسي اختر «هامش الخطأ» وأدخل حجم العينة المتوفر لديك.
طريقة الحساب
المتوسط: n = (z · σ / E)²، حيث σ الانحراف المعياري وE هامش الخطأ بالوحدة نفسها.
النسبة: n = z² · p(1 − p) / E²، مع p وE في صورة كسر عشري. القيمة p = 0.5 تعطي أكبر n، فاستخدمها عند غياب التقدير.
z هي القيمة الحرجة ثنائية الطرف z = Φ⁻¹(1 − α/2) لمستوى الثقة 1 − α، وتُحسب من معكوس التوزيع الطبيعي (1.96 عند 95% و2.5758 عند 99%).
تصحيح المجتمع المحدود: n′ = n / (1 + (n − 1) / N). يؤثر عندما تشكّل العينة جزءًا ملحوظًا من المجتمع N، ويُستخدم فيه n قبل التقريب.
يُقرَّب كل حجم عينة إلى الأعلى، لأن التقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر قليلًا من المطلوب.
هامش الخطأ من العينة: E = z · σ / √n (للمتوسط) أو E = z · √(p(1 − p) / n) (للنسبة)، مضروبًا في √((N − n) / (N − 1)) عند إدخال N.
القيم الحرجة حسب مستوى الثقة
تُستخرج z من معكوس التوزيع الطبيعي المعياري، وهي القيم نفسها في جدول NIST/SEMATECH e-Handbook. العمود الأخير هو حجم العينة لنسبة 50% بهامش ±5%.
| مستوى الثقة | z | n (p = 50%، ±5%) |
|---|---|---|
| 80% | 1.2816 | 165 |
| 85% | 1.4395 | 208 |
| 90% | 1.6449 | 271 |
| 95% | 1.9600 | 385 |
| 98% | 2.3263 | 542 |
| 99% | 2.5758 | 664 |
| 99.9% | 3.2905 | 1,083 |
حجم العينة حسب حجم المجتمع
ثقة 95% وp = 50%. يخفّض التصحيح العينة كثيرًا في المجتمعات الصغيرة ولا يكاد يغيّرها فوق 100000.
| هامش الخطأ | N = 500 | N = 1,000 | N = 10,000 | N = 100,000 | غير محدود |
|---|---|---|---|---|---|
| ±10% | 81 | 88 | 96 | 96 | 97 |
| ±5% | 218 | 278 | 370 | 383 | 385 |
| ±3% | 341 | 517 | 965 | 1,056 | 1,068 |
| ±2% | 414 | 707 | 1,937 | 2,345 | 2,401 |
| ±1% | 476 | 906 | 4,900 | 8,763 | 9,604 |
المطابقة مع القيم المرجعية
- المتوسط، 95%، σ = 15، E = 5: (1.95996 × 15 / 5)² = 34.57، إذن n = 35.
- النسبة، 95%، E = 5%: 1.95996² × 0.25 / 0.0025 = 384.15، إذن n = 385، وهو الرقم المذكور في معظم كتب المسوح.
- مجتمع 1000: 384.15 / (1 + 383.15 / 1000) = 277.7، إذن n = 278. أما تصحيح 385 بعد تقريبها فيعطي 279.
- تطابق قيم z جدول NIST في تسع منازل عشرية على الأقل، وتتحقق الاختبارات الآلية من كل صف في الجداول.
الافتراضات
تفترض الصيغ معاينة عشوائية بسيطة وتوزيع معاينة قريبًا من الطبيعي. في المعاينة العنقودية أو الطبقية اضرب في أثر التصميم. وللعينات الصغيرة جدًا عند تقدير متوسط تعطي قيمة t حجمًا أكبر قليلًا.
أسئلة شائعة
ما حجم العينة اللازم عند ثقة 95% وهامش 5%؟
385 لنسبة غير معروفة (p = 0.5). ومع مجتمع حجمه 1000 ينخفض إلى 278، ومع 10000 إلى 370.
من أين أحصل على الانحراف المعياري؟
من دراسة استطلاعية أو أبحاث سابقة أو بيانات تاريخية. إذا كنت تعرف المدى فقط فإن المدى / 4 تقدير تقريبي شائع. كلما كبرت σ كبرت العينة وزاد الأمان.
لماذا نستخدم 50% عندما لا نعرف النسبة؟
لأن p(1 − p) تبلغ أقصاها عند p = 0.5، فتعطي 50% أكبر حجم عينة، ويكفي ذلك أيًا كانت النسبة الحقيقية.
متى أدخل حجم المجتمع؟
عندما تعرفه وتتجاوز العينة نحو 5% منه. أما المجتمعات الكبيرة أو المجهولة فاترك الحقل فارغًا، فالتصحيح لا يغيّر شيئًا يُذكر.
هل يأخذ الحساب في الاعتبار من لا يستجيبون؟
لا. النتيجة هي عدد الردود المكتملة. اقسمها على معدل الاستجابة المتوقع لتعرف عدد من تدعوهم، مثلًا 385 / 0.4 ≈ 963.
لماذا يُقرَّب الناتج إلى الأعلى؟
مع 34 يصبح الهامش أوسع قليلًا من المطلوب، لذلك يُرفع الناتج دائمًا إلى العدد الصحيح التالي.