حاسبة الدرجة المعيارية Z
القيمة 130 بمتوسط 100 وانحراف معياري 15 لها z = 2، أي الرتبة المئينية 97.7. والرتبة المئينية 97.5 لها z = 1.96.
طريقة الاستخدام
- اختر «من قيمة إلى z» ثم أدخل القيمة والمتوسط والانحراف المعياري للبيانات.
- اقرأ الدرجة المعيارية ورتبتها المئينية: نسبة المجتمع الطبيعي التي تقع تحت قيمتك وفوقها وفي الذيلين معًا.
- وللاتجاه المعاكس اختر «من رتبة مئينية إلى z» وأدخل رتبة مثل 97.5، ثم أضف المتوسط والانحراف المعياري إن أردت القيمة المقابلة أيضًا.
طريقة الحساب
z = (x − μ) / σ، حيث x القيمة وμ المتوسط وσ الانحراف المعياري (ويجب أن يزيد σ على الصفر).
الرتبة المئينية = Φ(z)، وهي الاحتمال التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري: Φ(z) = ½ · erfc(−z / √2). تحسب الحاسبة erfc بمتسلسلة قوى عند |z| الصغيرة وبكسر مستمر عند |z| الكبيرة، فيبقى الذيل البعيد دقيقًا.
فوق القيمة: 1 − Φ(z) = Φ(−z). وقيمة p للذيلين = 2 · min(Φ(z), 1 − Φ(z)). والجزء داخل ±|z| = 1 − p للذيلين.
العكس: من الرتبة المئينية p نجد z التي تحقق Φ(z) = p. تستخدم الحاسبة التنصيف على Φ ثم تصقله بخطوات نيوتن، والقيمة x = μ + z · σ.
التوزيع الطبيعي المعياري متوسطه 0 وانحرافه المعياري 1. والدرجة المعيارية هي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة عن المتوسط، فتصح المقارنة بين قيم من مقاييس مختلفة.
أمثلة محسوبة
الرتبة المئينية هي نسبة المجتمع الطبيعي التي درجاتها تحت هذه القيمة. ويفترض الحساب أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي (الجرس).
| القيمة | المتوسط | الانحراف المعياري | الدرجة Z | الرتبة المئينية |
|---|---|---|---|---|
| 130 | 100 | 15 | 2 | 97.72% |
| 85 | 100 | 15 | -1 | 15.87% |
| 72 | 65 | 8 | 0.875 | 80.92% |
| 50 | 50 | 10 | 0 | 50% |
القيم الحرجة الشائعة
تحدد قيم z هذه حدود المنطقة الوسطى التي تحوي نسبة معينة من التوزيع الطبيعي، وحدّ الذيل الواحد للمستوى نفسه.
| مستوى الثقة | z للذيلين | z للذيل الواحد |
|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 1.282 |
| 95% | 1.960 | 1.645 |
| 99% | 2.576 | 2.326 |
كيف تقرأ الدرجة المعيارية
- z = 0 تعني أن القيمة تساوي المتوسط. وz = 1 تعني انحرافًا معياريًا واحدًا فوقه، وz = -2 تعني انحرافين تحته.
- نحو 68% من المجتمع الطبيعي يقع داخل z = ±1، و95% داخل ±1.96، و99.7% داخل ±3.
- قيمة p للذيلين هي احتمال قيمة تبعد عن المتوسط بهذا القدر على الأقل في أي اتجاه، وتستعملها اختبارات دلالة كثيرة.
الحدود
تأتي الرتبة المئينية من المنحنى الطبيعي المعياري. فإذا كانت بياناتك ملتوية أو ثقيلة الذيل بقيت الدرجة المعيارية صحيحة مسافةً بالانحرافات المعيارية، لكن الرتبة المئينية لن تطابق بياناتك الفعلية.
أسئلة شائعة
ما الدرجة المعيارية؟
هي عدد الانحرافات المعيارية التي تعلو بها القيمة المتوسط أو تنخفض عنه. فالدرجة 2 تعني أن القيمة فوق المتوسط بانحرافين معياريين.
كيف أحوّل الدرجة المعيارية إلى رتبة مئينية؟
خذ الاحتمال التراكمي للمنحنى الطبيعي المعياري عند z. فعند z = 1.96 يكون الناتج 97.5%، أي أن القيمة عند الرتبة المئينية 97.5 تقريبًا.
هل تفسد النتيجة إذا لم تكن بياناتي طبيعية التوزيع؟
الدرجة المعيارية نفسها صحيحة دائمًا. أما الرتبة المئينية وقيمة p فتفترضان توزيعًا طبيعيًا، فاعتبرهما تقريبًا إذا كانت البيانات ملتوية بوضوح.
أي انحراف معياري أستخدم للعينة؟
استخدم المعطى لك. للعينة يُستعمل عادة الانحراف المعياري للعينة (المقام n − 1)، وللمجتمع كله الانحراف المعياري للمجتمع. وصيغة الدرجة المعيارية واحدة.
ما الفرق بين الذيل الواحد والذيلين؟
الذيل الواحد ينظر إلى جهة واحدة، كاحتمال أن تزيد القيمة على z. والذيلان يجمعان الجهتين، وهما احتمال أن تبعد القيمة عن المتوسط بمقدار |z| على الأقل في أي اتجاه.
لماذا لا أستطيع إدخال 0 أو 100 رتبةً مئينية؟
التوزيع الطبيعي لا يبلغ 0% ولا 100% تمامًا، فتصير الدرجة المعيارية سالب أو موجب ما لا نهاية. أدخل قيمة محصورة فعلًا بين 0 و100.