Z Skoru Hesaplama
Ortalaması 100, standart sapması 15 olan bir dağılımda 130 değerinin z skoru 2, yüzdelik dilimi %97,7 olur. %97,5’lik dilimin z skoru 1,96 bulunur.
Nasıl kullanılır
- “Değerden z’ye” sekmesinde değeri, verinin ortalamasını ve standart sapmasını girin.
- z skorunu ve yüzdelik dilimi okuyun: normal dağılımda değerin altında kalan, üstünde kalan ve iki kuyruktaki pay gösterilir.
- Tersini yapmak için “Yüzdelik dilimden z’ye” sekmesini seçin, 97,5 gibi bir yüzdelik girin; karşılık gelen değeri de görmek isterseniz ortalama ve standart sapma ekleyin.
Nasıl hesaplanır
z = (x − μ) / σ. Burada x değer, μ ortalama, σ standart sapmadır (σ sıfırdan büyük olmalıdır).
Yüzdelik dilim = Φ(z), standart normal dağılımın birikimli olasılığıdır: Φ(z) = ½ · erfc(−z / √2). Hesaplayıcı erfc fonksiyonunu küçük |z| için kuvvet serisiyle, büyük |z| için sürekli kesirle hesaplar; uzak kuyruklarda bile tam hassasiyet korunur.
Değerin üstü: 1 − Φ(z) = Φ(−z). İki kuyruklu p = 2 · min(Φ(z), 1 − Φ(z)). ±|z| aralığındaki pay = 1 − iki kuyruklu p.
Ters işlem: p yüzdeliği verildiğinde Φ(z) = p olan z bulunur. Hesaplayıcı Φ üzerinde ikiye bölme yapar, sonra Newton adımlarıyla inceltir; değer x = μ + z · σ olur.
Standart normal dağılımın ortalaması 0, standart sapması 1’dir. z skoru, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir; farklı ölçeklerde ölçülen değerleri karşılaştırmayı sağlar.
Örnek hesaplamalar
Yüzdelik dilim, normal dağılan bir kitlenin bu değerin altında kalan payıdır. Verinin normal (çan eğrisi) dağıldığını varsayar.
| Değer | Ortalama | Standart sapma | z skoru | Yüzdelik dilim |
|---|---|---|---|---|
| 130 | 100 | 15 | 2 | %97,72 |
| 85 | 100 | 15 | -1 | %15,87 |
| 72 | 65 | 8 | 0,875 | %80,92 |
| 50 | 50 | 10 | 0 | %50 |
Sık kullanılan kritik değerler
Bu z değerleri, normal dağılımın belirtilen payını kapsayan orta bölgenin sınırlarını ve aynı düzey için tek yönlü kesme noktasını gösterir.
| Güven düzeyi | İki yönlü z | Tek yönlü z |
|---|---|---|
| %90 | 1,645 | 1,282 |
| %95 | 1,960 | 1,645 |
| %99 | 2,576 | 2,326 |
z skoru nasıl okunur
- z = 0 değerin ortalamaya eşit olduğunu gösterir. z = 1 bir standart sapma üstü, z = -2 iki standart sapma altı demektir.
- Normal dağılan bir kitlenin yaklaşık %68’i z = ±1 içinde, %95’i ±1,96 içinde, %99,7’si ±3 içinde yer alır.
- İki kuyruklu p, ortalamadan en az bu kadar uzak bir değerin her iki yönde görülme olasılığıdır; birçok anlamlılık testi bunu kullanır.
Sınırlar
Yüzdelik dilimler standart normal eğriden gelir. Veriniz çarpıksa ya da kuyrukları ağırsa z skoru standart sapma cinsinden uzaklık olarak yine doğrudur, ancak yüzdelik dilim gerçek veriyle örtüşmez.
Sık sorulan sorular
z skoru nedir?
Bir değerin ortalamanın kaç standart sapma üstünde ya da altında olduğunu gösteren sayıdır. z skoru 2 ise değer ortalamanın iki standart sapma üzerindedir.
z skorunu yüzdelik dilime nasıl çeviririm?
Standart normal eğrinin o z’deki birikimli olasılığını alırsınız. z = 1,96 için bu %97,5’tir; yani değer yaklaşık 97,5. yüzdelik dilimdedir.
Verilerim normal dağılmıyorsa sorun olur mu?
z skorunun kendisi her zaman geçerlidir. Yüzdelik dilim ve p değerleri normal dağılım varsayar; veri belirgin biçimde çarpıksa bunları yaklaşık kabul edin.
Örneklem için hangi standart sapmayı kullanmalıyım?
Elinizdekini kullanın. Örneklemde genellikle örneklem standart sapması (paydada n − 1), tüm kitlede ana kütle standart sapması kullanılır. z skoru formülü aynıdır.
Tek kuyruklu ile iki kuyruklu arasındaki fark nedir?
Tek kuyruklu yalnızca bir tarafa bakar; örneğin z’nin üstünde bir değer çıkma olasılığı. İki kuyruklu iki tarafı toplar ve ortalamadan en az |z| kadar, herhangi bir yönde uzak olma olasılığıdır.
Yüzdelik dilim olarak neden 0 ya da 100 giremiyorum?
Normal dağılım tam olarak %0’a ya da %100’e hiç ulaşmaz; z skoru eksi ya da artı sonsuz olurdu. 0 ile 100 arasında bir değer girin.