z 점수 계산기

평균 100, 표준편차 15인 분포에서 130의 z 점수는 2.00이고 백분위로는 97.7입니다. 백분위 97.5에 해당하는 z 점수는 1.96입니다.

문제가 해결됐나요?

사용 방법

값에서 z 구하기를 고르고 값, 평균, 표준편차를 입력하세요.
z 점수와 백분위가 나옵니다. 값보다 낮은 비율, 높은 비율, 양쪽 꼬리 확률을 함께 보여 줍니다.
반대로 하려면 백분위에서 z 구하기를 고르고 97.5 같은 백분위를 입력하세요. 평균과 표준편차를 같이 넣으면 그 백분위에 해당하는 값도 나옵니다.

z = (x − μ) / σ. x는 값, μ는 평균, σ는 표준편차이고 σ는 0보다 커야 합니다.

백분위 = Φ(z). 표준정규분포의 누적확률이며 Φ(z) = ½ · erfc(−z / √2)입니다. erfc는 |z|가 작을 때는 거듭제곱 급수로, 클 때는 연분수로 계산하므로 먼 꼬리에서도 정밀도가 유지됩니다.

값보다 높은 비율: 1 − Φ(z) = Φ(−z). 양측 p값 = 2 · min(Φ(z), 1 − Φ(z)). ±|z| 안쪽 비율 = 1 − 양측 p값.

역변환: 백분위 p가 주어지면 Φ(z) = p인 z를 찾습니다. Φ에서 이분법으로 범위를 좁힌 뒤 뉴턴법으로 다듬고, 값은 x = μ + z · σ로 구합니다.

표준정규분포는 평균 0, 표준편차 1인 분포입니다. z 점수는 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타내므로, 단위가 다른 값끼리도 비교할 수 있습니다.

백분위는 정규분포를 따르는 집단에서 그 값보다 낮은 점수를 받는 사람의 비율입니다. 데이터가 정규분포(종 모양)를 따른다고 가정합니다.

아래 z 값은 정규분포에서 해당 비율을 가운데 구간에 담는 경계값(양측)과, 같은 수준의 한쪽 기준값(단측)입니다.

백분위는 표준정규분포 곡선에서 구합니다. 데이터가 치우쳤거나 꼬리가 두꺼우면 z 점수는 표준편차 단위의 거리로서 여전히 맞지만, 백분위는 실제 데이터와 맞지 않습니다.

z 점수란 무엇인가요?

값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 위 또는 아래에 있는지를 나타내는 수입니다. z 점수가 2이면 평균보다 표준편차 두 개만큼 높다는 뜻입니다.

z 점수를 백분위로 바꾸려면 어떻게 하나요?

표준정규분포 곡선에서 그 z까지의 누적확률을 구합니다. z = 1.96이면 97.5%이므로 백분위 약 97.5에 해당합니다.

데이터가 정규분포가 아니면 어떻게 되나요?

z 점수 자체는 언제나 맞습니다. 다만 백분위와 p값은 정규분포를 전제로 하므로, 데이터가 뚜렷하게 치우쳐 있으면 근삿값으로 보세요.

표본일 때 어떤 표준편차를 써야 하나요?

주어진 값을 쓰면 됩니다. 표본이면 보통 표본표준편차(분모가 n − 1)를, 모집단 전체라면 모표준편차를 씁니다. z 점수 공식은 같습니다.

단측과 양측은 무엇이 다른가요?

단측은 z보다 큰 값이 나올 확률처럼 한쪽만 봅니다. 양측은 양쪽을 더한 것으로, 평균에서 어느 방향으로든 |z| 이상 떨어질 확률입니다.

백분위에 0이나 100을 넣을 수 없는 이유는 무엇인가요?

정규분포의 누적확률은 정확히 0%나 100%에 이르지 않아서 z 점수가 음의 무한대나 양의 무한대가 되기 때문입니다. 0보다 크고 100보다 작은 값을 넣으세요.