zスコア計算

平均100、標準偏差15で値が130のとき、z = 2、パーセンタイルは 97.7 です。97.5パーセンタイルのzは 1.96 です。

問題は解決しましたか?

使い方

z = (x − μ) / σ。x は値、μ は平均、σ は標準偏差です（σ は0より大きい必要があります）。

パーセンタイル = Φ(z)。標準正規分布の累積確率で、Φ(z) = ½ · erfc(−z / √2) です。erfc は |z| が小さいときはべき級数、大きいときは連分数で評価するので、遠い裾でも精度が落ちません。

値より上：1 − Φ(z) = Φ(−z)。両側p値 = 2 · min(Φ(z), 1 − Φ(z))。±|z| の範囲に入る割合 = 1 − 両側p値。

逆引き：パーセンタイル p に対して Φ(z) = p となる z を求めます。Φ を二分法で絞り込み、ニュートン法で仕上げます。値は x = μ + z · σ です。

標準正規分布は平均0、標準偏差1の分布です。zスコアは値が平均から標準偏差何個分離れているかを表すので、単位の違うデータどうしも比べられます。

パーセンタイルは、正規分布の集団のうちその値より低い得点の人が占める割合です。データが正規分布（釣り鐘型）に従うことを前提にしています。

値	平均	標準偏差	zスコア	パーセンタイル
130	100	15	2	97.72%
85	100	15	-1	15.87%
72	65	8	0.875	80.92%
50	50	10	0	50%

この z の値は、正規分布のうち示した割合を含む中央部分の端と、同じ水準の片側の境目を表します。

パーセンタイルは標準正規分布の曲線から求めています。データが偏っていたり裾が厚かったりしても、zスコアは標準偏差を単位とした距離として正しいままですが、パーセンタイルは実際のデータと一致しません。

zスコアとは何ですか？

値が平均から標準偏差何個分、上または下にあるかを表す数です。zスコアが2なら、平均より標準偏差2個分高い値です。偏差値は 50 + 10 × z で求められます。

zスコアをパーセンタイルに直すには？

そのzにおける標準正規分布の累積確率を求めます。z = 1.96 なら97.5%なので、その値はおよそ97.5パーセンタイルです。

データが正規分布でなくても使えますか？

zスコア自体は常に有効です。ただしパーセンタイルとp値は正規分布を前提にしているので、データが明らかに偏っているときは目安として見てください。

標本のときはどの標準偏差を使いますか？

与えられているものを使ってください。標本なら通常は標本標準偏差（分母が n − 1）、母集団全体なら母標準偏差を使います。zスコアの式は同じです。

片側と両側の違いは何ですか？

片側は一方だけを見ます。たとえば z より大きい値が出る確率です。両側は両方を足したもので、平均から左右どちらでも |z| 以上離れる確率になります。

パーセンタイルに0や100を入れられないのはなぜですか？

正規分布はちょうど0%にも100%にも達しないので、zスコアはマイナス無限大またはプラス無限大になってしまいます。0より大きく100より小さい値を入力してください。