Stichprobengröße berechnen
Bei 95 % Konfidenz, σ = 15 und einer Fehlermarge von ±5 braucht man n = 35. Ein Anteil mit ±5 % Fehlermarge braucht n = 385, bei einer Grundgesamtheit von 1.000 nur 278.
So funktioniert’s
- Wählen Sie „Mittelwert“, wenn Sie eine Zahl wie Gewicht oder Zeit messen, oder „Anteil“, wenn Sie einen Anteil wie Ja/Nein-Antworten zählen.
- Wählen Sie das Konfidenzniveau und geben Sie die Standardabweichung (Mittelwert) oder den erwarteten Anteil (50 %, wenn unbekannt) sowie die tolerierbare Fehlermarge ein.
- Geben Sie die Größe der Grundgesamtheit an, wenn sie klein und bekannt ist. Für die Gegenrichtung wählen Sie „Fehlermarge“ und geben Ihren Stichprobenumfang ein.
Berechnung
Mittelwert: n = (z · σ / E)², σ ist die Standardabweichung, E die Fehlermarge in derselben Einheit.
Anteil: n = z² · p(1 − p) / E², p und E als Dezimalbruch. p = 0,5 ergibt das größte n und ist ohne Schätzung die sichere Wahl.
z ist der zweiseitige kritische Wert z = Φ⁻¹(1 − α/2) für das Konfidenzniveau 1 − α, berechnet aus der Umkehrfunktion der Normalverteilung (1,96 bei 95 %, 2,5758 bei 99 %).
Endlichkeitskorrektur: n′ = n / (1 + (n − 1) / N). Sie wirkt, wenn die Stichprobe einen merklichen Teil der Grundgesamtheit N ausmacht. Eingesetzt wird das ungerundete n.
Jeder Stichprobenumfang wird aufgerundet, denn Abrunden ergäbe eine etwas größere Fehlermarge als gewünscht.
Fehlermarge aus der Stichprobe: E = z · σ / √n (Mittelwert) oder E = z · √(p(1 − p) / n) (Anteil), mal √((N − n) / (N − 1)), wenn N angegeben ist.
Kritische Werte nach Konfidenzniveau
z stammt aus der Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung und entspricht der Tabelle im NIST/SEMATECH e-Handbook. Die letzte Spalte ist der Umfang für einen Anteil von 50 % bei ±5 % Fehlermarge.
| Konfidenzniveau | z | n (p = 50 %, ±5 %) |
|---|---|---|
| 80 % | 1,2816 | 165 |
| 85 % | 1,4395 | 208 |
| 90 % | 1,6449 | 271 |
| 95 % | 1,9600 | 385 |
| 98 % | 2,3263 | 542 |
| 99 % | 2,5758 | 664 |
| 99,9 % | 3,2905 | 1.083 |
Stichprobengröße nach Grundgesamtheit
95 % Konfidenz, p = 50 %. Bei kleinen Grundgesamtheiten senkt die Korrektur den Umfang deutlich, über 100.000 kaum noch.
| Fehlermarge | N = 500 | N = 1.000 | N = 10.000 | N = 100.000 | Unbegrenzt |
|---|---|---|---|---|---|
| ±10 % | 81 | 88 | 96 | 96 | 97 |
| ±5 % | 218 | 278 | 370 | 383 | 385 |
| ±3 % | 341 | 517 | 965 | 1.056 | 1.068 |
| ±2 % | 414 | 707 | 1.937 | 2.345 | 2.401 |
| ±1 % | 476 | 906 | 4.900 | 8.763 | 9.604 |
Abgleich mit Referenzwerten
- Mittelwert, 95 %, σ = 15, E = 5: (1,95996 × 15 / 5)² = 34,57, also n = 35.
- Anteil, 95 %, E = 5 %: 1,95996² × 0,25 / 0,0025 = 384,15, also n = 385, der Wert aus den meisten Lehrbüchern zur Umfrageplanung.
- Grundgesamtheit 1.000: 384,15 / (1 + 383,15 / 1000) = 277,7, also n = 278. Die Korrektur des bereits gerundeten Werts 385 ergäbe 279.
- Die z-Werte stimmen auf mindestens neun Nachkommastellen mit der NIST-Tabelle überein, automatische Tests prüfen jede Tabellenzeile.
Annahmen
Die Formeln setzen eine einfache Zufallsstichprobe und eine annähernd normalverteilte Stichprobenverteilung voraus. Bei Klumpen- oder geschichteten Stichproben mit dem Designeffekt multiplizieren. Bei sehr kleinen Stichproben für einen Mittelwert ergäbe ein t-Wert ein etwas größeres n.
Häufige Fragen
Wie groß muss die Stichprobe bei 95 % Konfidenz und 5 % Fehlermarge sein?
385 für einen unbekannten Anteil (p = 0,5). Bei einer Grundgesamtheit von 1.000 sinkt sie auf 278, bei 10.000 auf 370.
Woher bekomme ich die Standardabweichung?
Aus einer Pilotstudie, früheren Untersuchungen oder historischen Daten. Kennen Sie nur die Spannweite, ist Spannweite / 4 eine gängige Faustregel. Ein größeres σ ergibt eine größere, sicherere Stichprobe.
Warum 50 %, wenn ich den Anteil nicht kenne?
p(1 − p) ist bei p = 0,5 am größten, also liefert 50 % den größten Stichprobenumfang. Diese Stichprobe reicht, egal wie hoch der wahre Anteil ist.
Wann gebe ich die Grundgesamtheit an?
Wenn Sie sie kennen und die Stichprobe mehr als etwa 5 % davon ausmacht. Bei großen oder unbekannten Grundgesamtheiten lassen Sie das Feld leer, die Korrektur ändert dann kaum etwas.
Sind Nichtantworten berücksichtigt?
Nein. Das Ergebnis ist die Zahl vollständiger Antworten. Teilen Sie durch die erwartete Rücklaufquote, um die Zahl der Einladungen zu erhalten, etwa 385 / 0,4 ≈ 963.
Warum wird aufgerundet?
Mit 34 wäre die Fehlermarge etwas breiter als gewünscht, daher wird immer auf die nächste ganze Zahl aufgerundet.