样本量计算器
置信水平95%、标准差15、误差范围±5时需要样本量 35。以±5%的误差估计比例需要 385 人，总体为1,000人时需要 278 人。
使用方法
- 测量体重、时间等数值时选择“均值”，统计赞成与否等占比时选择“比例”。
- 选择置信水平，输入标准差（均值）或预期比例（不清楚就用50%），以及可接受的误差范围。
- 如果总体较小且已知大小，再填入总体规模。要反过来计算，选择“误差范围”并输入已有的样本量。
计算方法
均值：n = (z · σ / E)²，σ 为标准差，E 为同单位的误差范围。
比例：n = z² · p(1 − p) / E²，p 和 E 用小数表示。p = 0.5 时 n 最大，没有估计值时就用 0.5。
z 是置信水平 1 − α 的双侧临界值 z = Φ⁻¹(1 − α/2)，由正态分布的反函数计算（95% 为 1.96，99% 为 2.5758）。
有限总体校正：n′ = n / (1 + (n − 1) / N)。样本占总体 N 的比例较大时才明显，代入的是取整前的 n。
样本量一律向上取整，因为向下取整会使误差范围略大于要求。
由样本反算误差范围：E = z · σ / √n（均值）或 E = z · √(p(1 − p) / n)（比例）；给出 N 时再乘以 √((N − n) / (N − 1))。
各置信水平的临界值
z 由标准正态分布的反函数求得，与 NIST/SEMATECH e-Handbook 表中的数值一致。最后一列是比例50%、误差±5%时的样本量。
| 置信水平 | z | n（p = 50%，±5%） |
|---|---|---|
| 80% | 1.2816 | 165 |
| 85% | 1.4395 | 208 |
| 90% | 1.6449 | 271 |
| 95% | 1.9600 | 385 |
| 98% | 2.3263 | 542 |
| 99% | 2.5758 | 664 |
| 99.9% | 3.2905 | 1,083 |
不同总体规模的样本量
置信水平95%，p = 50%。总体较小时校正会大幅减少样本，超过10万后几乎不变。
| 误差范围 | N = 500 | N = 1,000 | N = 10,000 | N = 100,000 | 无限 |
|---|---|---|---|---|---|
| ±10% | 81 | 88 | 96 | 96 | 97 |
| ±5% | 218 | 278 | 370 | 383 | 385 |
| ±3% | 341 | 517 | 965 | 1,056 | 1,068 |
| ±2% | 414 | 707 | 1,937 | 2,345 | 2,401 |
| ±1% | 476 | 906 | 4,900 | 8,763 | 9,604 |
与参考值核对
- 均值，95%，σ = 15，E = 5：(1.95996 × 15 / 5)² = 34.57，所以 n = 35。
- 比例，95%，E = 5%：1.95996² × 0.25 / 0.0025 = 384.15，所以 n = 385，即多数抽样调查教材给出的数字。
- 总体1,000：384.15 / (1 + 383.15 / 1000) = 277.7，所以 n = 278。若用已取整的385校正会得到279。
- z 值与 NIST 表至少九位小数一致，上面表格的每一行都由自动测试核对。
前提
公式假设简单随机抽样，且抽样分布接近正态。整群或分层抽样时要乘以设计效应。用很小的样本估计均值时，改用 t 值会得到略大的 n。
常见问题
置信水平95%、误差5%需要多少样本？
比例未知（p = 0.5）时为385。总体为1,000时降到278，总体为10,000时为370。
标准差从哪里来？
可来自预调查、已有研究或历史数据。只知道极差时，常用极差 / 4 粗略估计。σ 取得越大，样本越大也越稳妥。
不知道比例为什么用50%？
p(1 − p) 在 p = 0.5 时最大，所以50%给出最大的样本量。无论真实比例是多少，这个样本都够用。
什么时候需要填总体规模？
知道总体大小、且样本超过总体约5%时填写。总体很大或未知时留空即可，此时校正几乎不起作用。
是否考虑了未回复的人？
没有。结果是需要的有效回复数。除以预期回复率就是需要发放的数量，例如 385 / 0.4 ≈ 963。
为什么向上取整？
34 个样本的误差范围会略宽于要求，所以总是取下一个整数。